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数学之美
三等分角问题赏析（之一）www.58yuanyou.com
阿基米德螺线法
打算从本期开始，陆续推出七到八篇文章，介绍数学中有关三等分角问题的有趣并且有用的解决方法，从中观赏前人的聪明才智，从中学习有用的知识和解决问题的思路。
三等分任意角问题不能用尺规作图方法解决，但还有很多其他办法。陆续推出的这些三等分角问题的解决方法，涉及形形色色的曲线，它们是数学中的瑰宝。我打算每一篇文章，首先呈上一件宝贝供您观赏，然后把它当成一件利器，用它巧妙地解决三等分角问题。同时，在这个过程中，我们可能会遇到另外一些问题，我也捎带给出解决的方法。所以各篇文章都可能会是很多数学问题的综合。但我的讲解力争做到深入浅出，尽量叙述得细致入微。相原由网信不管您数学基础怎样，都是可以看懂的。
（一）阿基米德螺线
顾名思义，阿基米德螺线是由阿基米德发现的。世人总愿意做“十大”，“三大”之类的评选活动，什么“世界三大男高音”，“本年度十大杰出人物”等等，不一而足。有的是真评，有的只是民间的说法或爱好者们心目中伟大。所以，也就有所谓“你心目中的世界三大数学家”的说法，据我所知，阿基米德入选的时候还是很多的。好的，言归正传，说一说什么是阿基米德螺线。
有一//www.58yuanyou.com条射线绕着它的顶点从某初始位置逆时针匀角速度旋转，同时射线上的一点相对射线本身朝远离顶点的方向匀速运动，那么，这个点的运动轨迹就是阿基米德螺线。
在极坐标系下，阿基米德螺线的方程是：
其中b是开始时动点到极点O的距离，b若不等于0，说明初始点不在极点，也是可以的。下面是b=0情况下阿基米德螺线的生成动画小视频。给出动画也是很自然的，因为从曲线定义看，它就是动态生成的。以后每篇文章也都尽量以动画形式展示曲线之美也就是数学之美。
动画中，转动的射线上的天蓝色线段就是动点QBOaBbEJ在射线上走过的路径，它相对射线来说是直线段，但因射线在匀速转动，所以，实际上这个点在极坐标系中的运动是一种螺旋线，这里就是阿基米德螺线。
（二）用阿基米德螺线解决三等分角问题
上面动画中，为了显示螺旋的效果，我设置射线转动的速度快一些，而点在射线上的运动速度慢一些，于是“圈”多一些//www.58yuanyou.com，更像螺线。下面为了充分和清楚地展示怎样用阿基米德螺线解决三等分角问题，我让转动速度慢一些，而让射线上的点沿射线运动的速度快一些，这样有利于观察三等分角是怎么实现的。
如下图所示。以阿基米德螺线为工具解决三等分角问题的步骤如下：
（1）让∠AOB的OA边与极轴重合，让∠AOB的OB边位于OA的上方。
（2）作b=0情况下的阿基米德螺线（下图中的红色曲线。这里只给出了一部分，但足够我们解决问题用了）。曲线与∠AOB的OB边相交于点C。
（3）把线段OC三等分（有关三等分一条线段的方法有很多，这里捎带给出一种：让被分线段成为某任意三角形一边上的中线，那么这个三角形的中心就是三等分点之一。如上图中的细蓝线所示三角形CMN，其中OM=ON，MH=HC，两条中线OC和HN的交点D为所求作的三等分点。另一个三等分点为线段CD的中点E，作出它是基本功。）
（4）以点O为圆心，分别以OD和OE为半径作圆，分别与阿基米德螺线交于点F和G。连接OF和OG。则OF和OG就是∠AOB的两条三等分线。
为什么这样作出来的线段OF和OG就是∠AOB的三等分线呢？由阿基米德螺线的定义，射线每转过一个定角，射线上的动点就在射线上相对射线而言向外运动相同的距离。反之，动点在射线上走过相同的距离，射线也都转过相同的角度。由于点D和点E分别是线段OC的三等分点，所以，OD=DE=EC。因为b=0，所以有
∠AOF=∠FOG=∠GOC=∠GOB
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