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大家好，我是“一课研究”团队第19组的汪杰，来自宁波市奉化区松岙小学，很高兴能在微信平台上与您相遇！
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1. 听一听：几何图形“度量特征”的本质与结构
2. 读一读：周长概念再解读
3. 小论文：生活中的几何图形
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节选自小学教学（数学版）2012年第4期《基于图形“度量特征”的本质与结构》一文，本文作者北京教育学院刘加霞教授。
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周长概念再解读
概念教学是数学教学的一项重要内容，因此数学概念的掌握不只是简单的记住文本定义，而是要形成与概念直接联系的“整体性”的认知结构，包括相应的心智图像，对概念性质的辨认、对直观操作过程的识记、相应的范例重现等。这些就是被称之为数学概念的心理表征。“周长”是小学“图形与几何”领域的一个重要概念，笔者教学完圆的认识单元后，在周长的应用练习中发现了这样的问题。
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一、问题描述
一个运动场（如右图），两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的周长是多少？
在解决本题之前，学生已经会比较熟练的求一个圆的周长，而且本题的素材来源于学生的生活实际，对于六年级的学生来说并不难。然而反馈情况大出意外，学生普遍呈现了2种错例。
课后与其他年段的老师交流居然深有同感，虽然平时教学都很注重周长与面积的比较，例如反复讲解两者的区别；讲解公式的含义；求同一个图形面积与周长练习；隔三差五的解决问题，有一定的效果，但却不能彻底消除病症，而且达成一个共识：求组合图形周长的出错率明显高于求面积，“简单的周长” 并没有想象中的简单。
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二、问题分析
那么造成求组合图形周长困难的原因到底在哪里呢？笔原由网者为此展开了一番学习、整理、调查，多个维度的解读周长概念，以期获得新的认识。
1. 数学上位知识解读
从周长的定义来看：在小学阶段人教版对于周长的定义是这样的：封闭图形一周的长度，就是它的周长。而在高等数学中比较精确的周长定义为：环绕有限面积的区域边缘的长度积分，叫做周长。两者一比较我们有以下发现：
(1) “一周” 不能静态的去看待，“环绕”一词生动的阐述“一周” 是从某一点出发，沿着周界回到起点的动态形成的封闭路线；
(2)“长度积分” 进一步说明周长是由周界边线累加得到总和，例如三角形的周长就是围成三角形三条线段的长度总和，又如圆的周长其实也是由一周的许多圆弧累加的长度总和，累加的结果具有抽象性，需要学生展开想象再辅助直观操作演示从而获得感知；
(3)在一个有限面积的区域上，有面积就有周长，两者相互依存，而且它们的度量本质与结构许多相同之处，例如都是“度量单位的累加”，都蕴含“化曲为直”的思想等等，如果在学习时为了降低干扰，撇开周长只研面积，或撇开面积只研周长，割裂的教学反而容易造成面积与周长概念互相混淆。
从概念的特点来看：不同的概念有不同的特点，人类为了比较两个环绕有限面积的区域边缘的长短，而采用度量、累加计算而得到一个固定不变的量，这个量就是周长，所以周长是一个具体的值，是一个“结果”。可是要获得这个结果必然经历“找一周” “度量” “计算” 等整体的一系列活动，周长又具有清晰的“过程” 性。因此周长概念从一个过程引进，然后转变为结果，最终两者在认知结构中共存，它具有“过程”和“结果”双重特性。
2. 概念形成学材解读
在三年级周长概念形成阶段，人教版教材提供了图①作为学生的学习材料，在概念的应用环节中又设计了图②作为巩固习题。
我们可以看到图①素材由物体表面到平面图形www.58yuanyou.com，涉及直边、曲边和不规则的一周边线，为学生感知周长提供了丰富的活动材料，但仔细研究笔者认为存在2个遗憾，其一封闭图形来自哪里？它来自人们对物体表面的高度抽象的产物，如果在4个物体表面的下面配上由此抽象出来的4个封闭图形，就能让学生感受到封闭图形与物体表面并不是割裂的，这样才能实现生活中周长与图形周长概念的联结；其二这4个物体表面作为研究周长的典型正例都不适宜，以教学中教师采用最多的树叶为例，zjSHf树叶素材虽然具有 “一周边线”与“内线”的对比功能，但缺失的是感知“长度” 累加的功效，因为学生既没有测量树叶边线经验，更没有测量树叶边线的生活需要。再来看图②作为巩固习题，三个图形的一周边线简单明了，学生只需经历的是测量与计算求和，这样的练习获得“周长”的过程性体验是不完整的，如果这里能变成求几个简单组合图形的周长，就能引发学生思辩“一周的边线”，概念的核心要素得到凸显，概念的过程经验变得连续而完整。
3. 知识应用体系解读
从整个体系来看，周长的概念形成阶段在三年级，六年级是概念的综合应用，期间有一个较长时间的知识应用“断层期”，但令笔者费解的是在五年级研究多边形的面积时，教材没有一次出现组合图形的周长计算，整单元注重的是面积公式的推导过程，重视的是组合图形面积求值，久而久之学生形成看到组合图形就运用公式求值的惯性思维，而这种思维对于周长的过程性经验会产生强烈干扰。
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三、问题反思
鉴于以上三个维度的概念再解读，我们不难找到错//www.58yuanyou.com例的原因何在。
从第一个www.58yuanyou.com错例来看，一方面学生有受到求组合图形面积训练后惯性思维影响，而主因是学生对概念意象不清晰，笔者课后与部分学生进行了访谈，学生们指着面积的区域说“一个圆的周长加上长方形的周长就可以了”，当笔者追问“那一周在哪里呢？”，学生才认识到自己错了。显然这部分学生对于周长的核心要素“一周边线”“长度”心智图像模糊，导致与面积的概念表象互相干扰，对周长与面积概念的辨别主要依靠观察文字描述，例如看单位，找问题中的关键词“一周”“长多少”。
从第二个错例来看，主因是学生对于求周长的过程性经验不牢固，“先找一周边线”→“测量累加求和”求周长的过程，在实际的解决问题过程中往往变成了应用公式求值的过程，这也侧面反映了我们教师在教学过程可能更注重周长值的获得，忽视了对于求周长过程性经验的整理回顾，由此学生头脑中形成的获得周长的过程记忆往往是零散的、片面的、不完整的。
综上所述“周长”概念具有多个核心要素，是一个“值”更是一个“过程”，面积与周长又是密不可分的两个概念，教材素材的“非典型性” ，体系的“断层期” 这些都是学生认知概念的困难节点，为此笔者在建构概念的不同阶段，通过精选“原型”，夯实“过程”，多重“比较”等活动来丰富学生心理表征，从而形成整体的概念结构。-----未完待续 -----
【参考文献】
[1]郑毓信.多元表征理论与概念教学[J]，中学数学教学参考，2011，（5）
[2]徐 速．小学数学学习心理研究[M]．浙江大学出版社． 2006：（78-79）
[3]张兴华．重提教学心理学[J]．人民教育，2008，(1):(3)
[4]刘加霞.基于图形“度量特征”的本质[J].《小学教学:数学版》 2012.（4）(23-27)
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数学日记
生活中的几何图形
曾经以为生活是一条线段，简洁而单调。两个端点就是家和学校。随着年龄的增大，我逐渐知道了：生活其实是个多边形，复杂而又丰富。
图书馆里，我努力搜寻着自己的目标，那一部部长方形的大块头都是我的挚爱。生活是个四边形!
游乐场里，和朋友们一起嬉戏，这时，我忽然感到：生活是五角形、六边形。
在这么多形状中，我最喜欢圆形。圆，所有图形中最美的图形，最富有创造性，最富有人情味，最富有诗意的图形。我追求完美。什么事都要求尽善尽美，就像圆一样。所有学科我都要争做第一。我广交朋友。全国各地都有我的朋友，每到属于我们的节日，都会给对方一份真挚的祝福，即使远在天涯海角。“海内存知己，天涯若比邻”，就像圆心与圆上的点一样，心心相印。
审核人：娄森锋、许现新
