发明数学，创造数学
像数学家一样思考 数学精彩观念的诞生
数学可以越学越容易吗？贞元数学告诉你：当然可以！
第七阶段 综合应用
第七阶段也是实际应用，这个实际应用会涉及到连乘、连除。“超市一周要卖出5箱保温壶，每箱12个，每个卖45元。一共卖了多少钱？”孩子们可以自由挑战，方法一，有5箱，每箱12个，就是512是60个，每一个卖45元，就是6045。
方法二：每个卖45元，每箱12个，所以4512，计算的是一箱可以卖540元，一共是5箱，还要再乘5得2700元。我们在课堂上也可以分享一些计算出错了或者列式出错的，不过如果是系统上来的孩子，一般列式不会太离谱。我们可以追问，你认可哪种方法？为什么？方法一刚才我已经解释了，意思非常清晰，肯定没有问题。方法二当然也是可以的，在这个基础之上，我们可以追问，能不能列出综合算式？在方法一基础上怎么样列综合算式呢？那就是51245，根据上面的计算过程已经知道，脱式运算就是“51245=6045=2700”。我们要问孩子你认不认可，根据上面的分步计算的过程，可以推出下面这个结果一定是对的，因为这就原由网是三个数连乘，先将前面的两个数相乘，再乘第三个数。他可能从来都没有想过这样做有什么不对，顺其自然，他觉得这当然认可。但是我们知道，从乘法本质的角度，为什么可以呢？这里是需要追问的。
方法二综合算式就会变成这样：12455 , 结果当然也是2700。接着追问认不认可，为什么？因为本来是51245，要是按顺序乘还好说，但事实上第二种算法，是先计算后两个数，再和第一个数相乘，因为我们知道这里面涉及到乘法结合律、乘法交换律了，但是三年级的孩子并没有学过这些运算律，如何来理解呢？有的时候我们可能直接带过去了，或者反向说，分步计算是对的，所以这样计算也是对的，这种证明或解释是没有力度的。在这两种综合算式的基础之上，我们当然还可以追问，还有没有其他的算法？我们知道，应该还有，那是不是巧合？为什么运算顺序这样也对，那样也对，是不是巧合？
我们用模型来解释，让孩子们意识到这不是巧合，为了操作方便，我们把数字变得稍微小一点，423（注：根据实际的积木图应表示523，为表述方便，请忽略）等于多少？请看，这是用小积木搭了一个长方体，我们从上面看过去，最上面一层一行有4个积木，有2行，每层积木个数是42等于8个，整个共有3层，再乘上3，积木总个数用连乘是423=24。
从正面看，正对着我们竖着的一层一行有4个积木，有3行，这一层积木有43等于12个，整个的有前后2层，再乘2得24个，这就解释了432。
再从左侧看过去，一层是23，向右数一共是4层，整个的大长方体积木个数就是234=24。不管怎么样乘，最后的答案都一样，更重要的是我们结合长方体解释，孩子们就会明白不管你怎么样计算，其实都是在计算一共有多少个小积木，只不过计算的路径不一样。可以从上面看下来，可以从正面看过去，也可以从侧面看过去，都能找到计算的路径，所以不同的运算顺序它仅仅代表了不同的运算路径，而最终都是指向同一个目标——一共有多少个小积木？
这原由网可以在真实的情境当中帮助孩子们来理解运算程序选择的合理性，其实也就是为四年级学习乘法的交换律和结合律奠定基础，这是经验技术，这种操作性的经验对于孩子们理解运算律帮助太大了，因为我们到四年级学习运算律，并不是一个严格的推理，而仅仅把它当做一个不需要证明、不需要推理的公理，直接告诉孩子们就是这样，这样显然有点武断，那么帮助孩子理解的最佳途径是增加操作性的经验，孩子们在心理上会觉得很安全，觉得还是可靠的，而不是别人硬生生的灌给我的结论。
右面的这个题目要解决的是一个连除问题。用分步计算的方法，孩子们都是没有问题的，问问孩子们是否认可方法一、方法二和方法三，只要结合实际情境，理解起来都是非常简单的，所以三种方法当然都是可行的。
现在问能不能列出综合算式？第一个根据分步计算得到综合算式：6032，这当然没问题，而且也是从左往右算，顺其自然。第二种，是把分步计算改成综合算式60//www.58yuanyou.com23，答案也是10。这里有一个小问题，也就是说6032，从结果上来看它就等于6023，为什么呀？孩子们显然是有疑问的，更大的疑问在这儿呢，因为分步计算是先乘再除，改成综合算式就需要添一个小括号，从最后的结果来讲也是对的，为什么呀？为什么连除会变成除和原由网乘呢？孩子们显然是有疑问的，最后的答案是一样的，难道只是巧合吗？
我们仍然可以结合积木模型来理解，已知长方体一共有24个小积木，244是把长方体平均分成4份（大家忽略这个长方体图有5层），从左侧看过去，得到一层有6个积木，再把每一层积木个数除以2，正好再平均分成2份，就正好得到这样的一小列（3个积木）。能不能变成2424呢？这个问题的道理也非常好理解，242，把这个长方体的平均分成2份，相当于从右侧看过去，前面一层、后面一层，再把前面这一层除以4，平均分成4份，最后得到的结果还是竖着的这样的一列（3个积木）。能不能变成24（42）？很显然也是没有问题的，42从上面看下来，这一层正好有8块积木，用248，可以理解为24里面包含了几个8，就是3层，还是竖着的这一列所对应的数字3。也就是说，连乘连除的问题结合这样的一个模型帮助孩子来理解，这是很重要的，这么理解起来也没有那么难，是可以做得到的。
第八阶段，是思维导图制作。大家看下图164，可以和加法、减法、乘法、除法联系起来，以及改变其中的一个乘数，另一个乘数不变，看结果怎么变；或者同时增大两个乘数，看结果怎么变；同时减小两个乘数，结果怎么变。
“思维脑图”一般来讲基本结构是不变的，就是这一章要建构生成的核心观念。建构这个核心观念的学习历程是从浪漫到精确，再到综合，综合阶段会涉及到未来发展，也就是孩子们的学习一定是朝向未来的。其实我们每一次做思维脑图，都要遵循一个基本思维模式，跟教材或者参考书里面的客观性的知识框图是不一样的。我们这个思维脑图，确切的讲是孩子们观念建构的历程，是发生在孩子们大脑内部的、主观性的建构历程。书上也有几幅孩子们的思维脑图，都是当年三年级橄榄树班，目前读六年级的孩子们，这本三下的《玩游戏，学数学》书里面所有的课例都是另外一位作者宋亚男老师当年带着孩子们做的课堂实录，下面这幅思维脑图是当年的橄榄树班智清做的。我想说的是，这些思维脑图是独一无二的，因为每一个孩子把自己脑海当中的建构历程呈现出来，在任何的教科书、教参里面是找不到的，也是没有办法去模仿的。
说明一下制作“数字树”的意义，最重要的是培养孩子们的数感，在“数字树”中关注的是数字与运算之间的关系，特别是数字与数字、数字与运算、运算与运算以及运算模型之间的关系，引导孩子们对这些关系有非常敏锐的感知力。当然，因为“数字树”在制作的过程中，它本身就是开放性的，所以对于培养孩子们的创造力、创新思维能力是非常重要的。
5、认识冲突化解后，儿童的日常生活与后续学习会发生什么变化。
最后一个问题，“解决认知冲突以后，儿童建构生成的新观念对后续的学习将会发生怎样的影响？”首先，是脑海当中的这种观念结构会有变化，特别是前景观念，上面紫颜色的部分就是这一章学习之前孩子们脑海当中的前景观念，经过这一章的学习，多位数乘两位数的观念也会变成他的前景观念。这里的任意多位数乘多位数背景观念我认为可有可无，但为什么还是要放在这里呢？因为这个问题会涉及到大数的读取，不仅仅是运算的问题了，因为这个运算的结果数字比较大，对于三年级的孩子而言意义不太大，超出了他们的感知范围。
“两位数乘两位数”在“代数发生学课程树”中的位置及意义。
最后，用“代数发生学的课程树”再来强调一下，这一章的两位数乘两位数或者多位数乘两位数到底在课程树当中处于哪一个位置。（看上图）从孩子降生，到小学阶段，有自然数、分数，负数涉及了一点点，www.58yuanyou.com自然数、小数、分数这一小块是小学算术或小学代数的内容，后面的有理数、代数式、三个一次、三个二次相当于初中的内容，再后面的幂指对、三角函数、导数等等是高中代数中的内容。所以这一章的学习仅仅只是在自然数里，自然数的学习最核心的是三个问题：诞生、比大小、四则运算，而这一章的学习好像不涉及这三个问题。
严格意义上来讲，一、二年级的数学学习至关重要，因为100以内自然数的诞生、比大小、四则运算加、减、乘、除，在二年级结束的时候全都学完了。如果跟着我们的系统上来的孩子，后面的学习内容包括多位数乘两位数孩子们可以自主探索，因为核心的观念他在前面已经建构生成，探索的方法也有比较好的领会，所以，低段的数学教学非常关键。
当然，如果以前没这么学，孩子比较小，可塑性比较大，到三年级的时候可以重新来过，在每一次学新的单元的时候，你把过去的某些观念以游戏的方式重新带进来也是可以的。总之，这一章学的多位数乘两位数，其实在进一步的揭示四则运算里面的乘法运算的本质，乘法运算的本质虽然在二年级已经接触到，但是随着数字的增大，它的难度、开放性也会增加，孩子们需要借助多位数乘两位数这个单元的学习，进一步领会乘法运算的本质，以及乘法运算跟除法、加法，甚至跟减法之间的这种关系。明确这个单元在课程树当中的位置，会有一个比较好的定位，有了这样的教学观念，我们才会说“为学日益，为道日损”。随着年级的升高，孩子们学习的知识越来越多，但背后的核心观念会变得越来越简洁、有效，越来越明晰、深刻，越来越灵活、自由，这些非常重要！
End
结语：
我在第一节课的时候，送给了大家几句话，我今天愿意再重复一下，“儿童的生命如同降落伞，只有打开，才有意义。”而这个“玩游戏，学数学”，就是引导儿童像数学家一样创造数学、发明数学！借助每一个单元、每一节课的数学知识点，借助数学这个桥梁和道路，去帮助孩子们打开他们的生命，去培养他们的思维能力，去引导他们寻找生命的意义和价值，这是我们每一个老师所承担的一份教育的责任。我们如果这样来理解教育，我想教育就是一个充满魅力的事业，我们每一天的生活也会充满价值和意义！
愿我们一路同行，共同进步，共同带领我们的孩子们去享受“玩游戏，学数学”的快乐！
（本篇文章源于新网师第四讲， 主讲人：王校；文字录音整理：岳红飞）
