本文介绍的数学概念是很基础数学常识，对于第一次接触的朋友可能很难接受。
正整数就是我们日常见的从 1，2，3，4…… 一直趋近于无限大
而整数包括正整数，负整数也就是-1，-2，-3，-4…… 一直趋近原由网于负无穷大，还有0
那么问题是
- 世界上的正整数数量多，还是整数数量多呢？
直觉告诉我们肯定是整数多，因为整数包含了正整数，负整数和0，肯定比正整数多啊。
实际上两者是一样多的。当数学涉及无穷这个概念时，人们日常的常识直觉往往不管用。
为什么整数和正整数一样多呢？
这里我们引入一个可数无穷的概念。
如果我们要数一个篮子里有多少苹果，我们会一个一个地数出来。比较两个篮子里哪个苹果多的话，我们可以用这种办法：依次每个篮子里都拿出一个苹果出来，哪个篮子苹果拿光了，另外一个篮子还有苹果。那么我们就说还有苹果的那个篮子的苹果数要更多。
数整数和正整数的数量也是一样的。我们只要想出一个办法让整数这个篮子和正整数这个篮子里面的‘苹果’ 也就是数字一一对应就行了。
一个可选的办法是：整数的0 zcqAkALUZe对应 正整数的1
整数1 对应 正整数的2
整数-1 对应 正整数的3
整数2应 正整数的4
整数-2应 正整数的5
整数3对应 正整数的6
这样一一对应下去，正整数从1，2，3一直数下去，整数从0，1，-1，2，-2，3，-3这样数下去。
因为正整数是可以无限递推下去的，所以不管有多少个整数，一定能找一个正整数和他一一对应。比如我如果选一个整数是 10000000000（10个0）那么它相当于第20000000001个正整数。即使那个整数再往下数下去，也一定能够找到一个正整数与它对应。所以整数和正整数数量是一样的。
- 那么正整数的数量与包括整数以及有限个小数点和可循环小数的有理数哪个多呢？
答案还是一样多。像上面介绍的方法，我们将所有有理数写成分数的形式，每一行是分子，从0，1，2，3一直到无穷大。每一列是分母，从0，1，2，3一直到无穷大。
请见表格。
0（序数1） |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
1/1（序数2） |
2/1（序数3） |
3/1（序数6） |
4/1 |
2 |
1/2（序数4） |
2/2（重复） |
3/2（序数7） |
4/2（重复） |
3 |
1/3（序数5） |
2/3（序数8） |
3/3（重复） |
4/3 |
4 |
1/4（序数9） |
2/4（重复） |
3/4 |
4/4（重复） |
这样我们按照Z字形状一个一个将有理数按照顺序一一和正整数对应起来，这样的话每一个有理数都可以和一个整数数对应，去掉重复出现的数字就好了。比如0.333333…… 其实是1/3，图表里是第四个序数相当于正整数4。其实对有理数编序号的顺序和方法可以自由地发挥，只要能保证它们每个数都能一一对应就行。你会发现有理数和正整数也是一样的多的。
- 那么再问一个问题，包www.58yuanyou.com括有理数以及圆周率，和 2的平方根这类无限不循环小数在内的数的实数，它们的数量多还是正整数多呢？
如果大家耐心看完前面两个问题的话，一定会认为肯定是一样多吧。
错了，答案是实数更多。
为什么同样是无穷多的数，正整数和整数以及有理数一样多，但是却比实数少呢？怎么感觉非常不符合情理。
但是数学的概念不像其他学科，它都是有严格论证的。无数的无穷多比整数的无穷多还多这点也是如此。著名数学家康托尔提出并证明了这个想法。
他的证明思想是：
首先：假设实数是可以用正整数一一对应的，
第二步：那么我们列举介乎0到1之间实数。
比如
第 1 个数 0.1234567……
第 2个数 0.3485738……
第 3个数 0.8589483……
第 4个数 0.4903805……
第 5个数 0.3840398……
第 6个数 0.9038278……
……
（上面的这个数是随机写的，但是假设0到1之间所有的数都可以和正整数一一对应，所以顺序其实也没所谓）
第三步：我们现在取第一个数的小数点第一www.58yuanyou.com位，例子里是1。然后取第二个数小数点第二位也就是4，以此类推组成一个小数：0.148337......
第四步：见证奇迹的时刻到了。现在我们把小数点每个位数的数字加1，如果是9就变成0.那么我们得到的数是0.259448……
等等，这个数有什么了不起呢？
答案是这个数是所有正整数都数不出来的多出来的数。因为，你想它的小数点第一位跟第一个数不一样，肯定不等于第一个数。它的小数点第二位数跟第二个数不一样，肯定不等于第二个数。以此类推，它不等于所有用正整数编号的所有数的任意一个。也就是说即使用无穷多个正整数编号了0到1之间的实数，我们一样能够再www.58yuanyou.com组成至少一个（其实是可以组成无穷多个）正整数列举不到的数。要知道这只是0到1之间的数，那么从负无穷大到正无穷大，有无限多个0到1之间那么多的实数。所以说实数比正整数多无穷多个。也就是说实数的无穷多是比整数大一个级别的无穷多。因为它的无穷多是不能用1，2，3，4……这样的数出来的，所以叫做不可数无穷。
这位康托尔创立了现代集合论，它是实数理论以及整个微积分体系的理论基础。但是在19世纪时当他竟然从最基础的概念开始一个一个定理构架数学体系，还搞出各种别人觉得无厘头的证明时，当时的数学家都不买账，别人认为他疯了。于是他被送入精神病院，他最后也是死在精神病院里的。现在几乎所有数学家都已经接受了康托尔的理论，因为他的理论能从很基础的概念开始一步一步逻辑严密地构建出整个数学大厦。
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