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大家好！ 我是朱乐平名师工作站“一课研究”第二组李婷玉，来自温州市鹿城区瓯江小学，很高兴能在一课研究的微信平台中与您相遇。
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本期导读
1.什么是数感？
2.小不“点” 大能量 ——“点子图”在培养数感中的有效运用。
3.轻松一刻！
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注：此音频内容节选曹培英老师《跨越断层，走出误区》一书。
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小不“点” 大能量 ——“点子图”在培养数感中的有效运用
点子图能让学生建立对数的感觉，与现实生活建立连接，是学生经历有关数的活动的有效学具。一组组的点子图，用更具体的方式向孩子们展示数的概念与数的运算，这些点子图我们可以这样运用。
点子图学习数//www.58yuanyou.com的认识中，不仅能表示出数的多少，起到现实与数之间的过渡，还能让学生认识每个数本身的特点，建立数与数之间的联系，延伸数的概念。
一、认识“点”——感悟数和数量的意义
1.搭建数与现实的桥梁
在一年级认识1~10这些数时，教材要求在现实情境中，让学生通过数一数，摆一摆等活动将实物整出来，再用点子来表示实物，起到半抽象的过渡，最后抽象成数。
如图1、图2中，教材设计了贴近学生生原由网活的大扫除的情境中，由“有几位学生”引出数数活动。数出有6名学生，再将6名学生从情境图中整理出来，半抽象成用点子图表示这6位学生。教材中用蓝色点子表示正好达成了半抽象的效果，再由“有几张学生的书桌”数出有6张书桌，也可以用这6个蓝色点子来表示6张书桌。
图1
图2
各种不同的6个物体都可以抽象成6个点子，最后我们将数量抽象成6。
通过这样的运用，能让学生认识到数的现实意义。在数与现实之间，运用点子图作为桥梁，帮助学生从具体实物过渡到半抽象，最后抽象成数。这样运用点子图，能让学生感悟的不同数字的大小多少，理解数的意义 。
2.沟通数与数间的联系
把数字表示成一组组点子图，又能怎么样？这组点子图和那组点子图有什么区别呢？我们一起来移动看看。
还是在6和7的教学中一开始让孩子用点子图表示这6位学生，你可能得到的是散乱摆放的点子，或者是摆成一条。这样的点子图，还不能让我们摸透数的特点。将这些点子图移动看看，引导学生重新摆一摆。
图3
图4
从图3中可以很清晰地看出6与5的大小关系。从图4中可以清楚看出6是2个3组成或3个2组成等等。
当数被写成抽象的符号时，很多关于数的性格特点也被隐藏起来了qnzghXN，通过用点子图表示，可以将这个数的知识展现在学生的眼前。
3.加强数量单位间的交流
学生感悟到数的意义后，建立了数量单位感悟的基础，在认识数时，1个点子表示1个物体，当我们给这个点子加上了不同单位后，它被赋予了不同的力量。通过点子图，能加强学生对数量单位间的交流。
如图5《元、角、分的认识》中，教材中体现了1元与10个1角间联系，在课堂中可以让学生更抽象一点，用点子图来表示。两个点子都是代表1，加上不同的人民币单位，它们之间的关系发生了变化。
图5
图6
在时间单位中，也可以用画点子的方法感受秒，分，时之间联系。画一个点子大约是1秒钟，在此基础上，让学生通过画点子感受1分钟如图7。最后出示60个1分钟的点子图感受1小时的时间（图8）。
图7
图8
点子图将数量具体的展示在学生眼前，让学生印象深刻，这对学生的数感培养起着很大的作用。
二、移动“点”——把握数量关系的建立
我们把每个数量都想象成一组组点子图，将这一组组点子图摆放一起，又会产生怎样的反应呢？通过不同的移动方式，带领学生感悟加减乘除之间的数量关系。对复杂一点的数量关系，也可以伴随着具体的问题情境，通过点子图展开学习。
小学教材每当学习加减乘除时，也会出现点子图帮助理解。 将两组点子图合并在一起，就是将这两数相加；从一组点子图中拿走一部分，就是减法；把几组相同多的点子摆放在一起就是相乘；某组点子图中可以多次拿走相同的量，就是相除；也有些组点子图不能每次都拿走一样的量，恰好拿完，就产生了余数。通过摆放点子图能将加减乘除的意义一一具体直观的展示。
如图9“比多少”一课中，学生通过画图10的点子图很清楚能找到小华和小雪一样多的部分，小华比小雪多的部分。从点子图上可以看出小华的数量减去一样多的部分，就是小华比小雪多的部分。在后续的解决问题只能还可以沟通相差的部分加上一样多的部分就是小华的数量。
数量关系数培养学生数感的另一个层次，点子图能帮助学生更好的理解一定的数量关系，会建立起整体和部分之间的感悟，让数量及相互关系在头脑中做出深刻的反应。
三、运算“点”——获得估计运算结果的能量
除了估算意识和能力的培养外，对运算结果的估计涉及的因素很多：对参与运算的数与量意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、对运算方式角度的把握、对具体情境的数量化的处理等。[1]
我们运用点子图来帮助学生理解运算和运算定律，选择运算方法，处理具体情境，培养学生在估计运算结果层次的数感。通过点子图对具体情境进行数量化处理，能让学生理解运算和运算定律上借力，感悟其中奇妙的数量qnzghXN关系。
在教学《运算定律》时，出示关于加法结合律和乘法结合律的具体情境。
加法结合律：第一组有4人，第二组有5人，第三组有2人，一共有多少人？
乘法结合律：有4组，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水，一共要浇几桶水？
让学生把这些情境画出点子图再比较，如下图：
学生通过点子图的比较理解了加法结合律的思考过程明显简单，是一个整体的三个部分合并的顺序不同，而乘法结合律更像是俄罗斯套娃的套法不同。这种奇妙的感觉只可意会，通过点子图，让这些相似的概念找到不同之处，学生印象深刻。
于是，在教学乘法分配律时，我也同样利用情境与乘法结合律进行比较。
乘法结合律：有4组，每组要种5棵树，每棵树要浇2桶水，一共要浇几桶水？
乘法分配律：第一组种4棵树，第二组种5棵树，每棵树要浇2桶水，一共要浇几桶水？
通过画点子图，学生深入理解45和4＋5表达的不同含义，对乘法分配律和结合律的意义理解更深刻。通过点子图对具体情境数量化处理，学生能将抽象运算定律中的意义活灵活现的展示在眼前。学生对于这些看起来形似的概念加以自己的理解和区分，这些结果令学生清晰的区分概念
四、拓展“点”——积累不一样的数感经验
计算是有其严肃性，看似不苟言笑，冷冷冰冰，让学生难以喜欢。将点子图排列出一幅幅有规则的图画，能帮助学生理解某些运算规律，找回计算的乐趣，提高学习数学的动力。
将1~10的任意www.58yuanyou.com两组点子图拼在一起，你会有什么发现？先来看看2 、4 、6 、8 、10这些数，两组点子图就可以组成一个规则的长方形。将1 、3、5 、7 、9这些数拼在一起，也可以得到一个规则的长方形，而将一奇一偶拼在一起时，两行总会多出一个。如图13所示：
抽象成数学规律，就是偶数＋偶数=偶数，奇数＋奇数=偶数，奇数＋偶数=奇数。在拼点子图的过程中，直观表示奇数＋奇数变成偶数的过程，学生的印象深刻，而对奇数＋偶数这种情况，学生理解多出的那一块点子图造成和是奇数的缘由。
这种方法对于减法和乘法算式中同样起作用，拼的方法符合学生的认知水平，有利于加深学生对算式奇偶性的理解和判断。我们已经知道，奇数＋奇数=偶数，那么把连续的奇数相加，会发生什么呢？
先让学生自主计算，观察算式和结果，找找发现。
1＋3=4
1＋3＋5=9
1＋3＋5＋7=16
1＋3＋5＋7＋9=25
你有没有发现，这些连续奇数的和总是一个平方数。那么，为什么会有这样的规律？我们把每个数都想象成一组组点子图，我们只要通过将点子图排列整齐，就能验证这条数学规律了。这其中的关键点是一个很简单的事实：所有的奇数块点子图都一定可以摆成一个横边和竖边一样长的L字型（图14）。[2]
对于1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10=55这个算式的计算，排列点子图也有自己独特的解释。我们把每个数都想象成一组组点子图，将这一组组点子图从1到10的顺序排列好，就变成一个不完整的长方形（图15），似乎只有1/2,；将图中的三角形复制黏贴再旋转180后，拼接补齐，就成了10行点子图（图16），每行11块的长方形，那么原来的就1011=110块的一半，很快能计算出是55块。
图14
图15
图16
利用点子图，拓展了运算方式，数图结合的数学活动有利于学生在相互交流中多角度去感悟数，丰富自己的数感经验。
数感既然是对数的一种感悟，它就不会像知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。这一组组的小不“点”，能在数感培养中发挥着大大的能量，让学生经历不一样的数感培养过程。
数感既然是对数的一种感悟，它就不会像知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。这一组组的小不“点”，能在数感培养中发挥着大大的能量，让学生经历不一样的数感培养过程。
【参考文献】
[1]教育部.数学课程标准[M].北京师范大学出版社，2011.
[2]史蒂夫斯托加茨.x的奇幻之旅[M].北京：中信出版社，2014：7-14．
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轻松一刻
幽默哲语
鲁米的诗节选
你跑得愈快，
你的影子跟得愈紧。
有时，它还会跑在你的前头呢！
只有日正当中的太阳，
才能让它退减。
但你可知道，你那影子一直都在服侍着你呢！
加害你的，也必保护你。
黑暗就是你的蜡烛。
你的边界，就是你追寻的起点。
你若盛开 蝴蝶自来
审核人：周晓林 诸东微
